جزوه و کتاب روش اجزا المان محدود

توضیحات

جزوه و کتاب روش اجزا المان محدود

جزوات دانشگاهی و کنکور

FINITE ELEMENTS METHOD

The Finite Element Method Zienkewicz & Taylor
An Introduction to Finite Element Computation Hinton & Owen

روش اجزاء محدود یا روش المان محدود ( Finite Element Method ) که به اختصار FEM نامیده می‌شود، رایج ترین روش عددی برای حل مسائل مهندسی و مدل‌های ریاضیاتی است. رایج‌ترین این مسائل شامل تحلیل سازه‌ها، انتقال گرما، دینامیک شاره‌ها، انتقال جرم و پتانسیل الکترومغناطیسی می‌شود. روش المان محدود، روشی عددی برای حل معادلات دیفرانسیلی جزئی تعریف شده بر اساس یک یا دو متغیر مکانی است. در این روش، برای حل مسئله یک سیستم بزرگ به قسمت‌های کوچک‌تر و ساده‌تر به نام المان‌های محدود تقسیم می‌شود. این گسسته سازی مکانی مستلزم تعریف جسم یا محیط مسئله بصورت یک شبکه یا در اصطلاح مش است. در واقع شبکه از مجموعه‌ای از نقاط گسسته برای تبدیل جسم یا محیط مسئله به محدوده‌ی عددی برای حل مسئله است. فرمول‌بندی روش المان محدود در ادامه به سیستمی از معادلات جبری تبدیل می‌شود که بیانگر تقریبی از یک تابع مجهول بر روی هر المان است. سپس معادلات ساده‌ای که هر یک از این المان‌ها را مدلسازی می‌کنند، در قالب یک سیستم بزرگتر از معادلات که کل محدوده‌ی مسئله را در بر می‌گیرد، سرهم‌بندی‌ می‌شوند. در نهایت با استفاده از حساب تغییرات جوابی برای مسئله با به حداقل رساندن یک تابع خطا یافته می‌شود. کاربرد عملی اجزای محدود معمولاً با نام تحلیل اجزا محدود ( Finite Element Analysis ) یا به اختصار FEA خوانده می‌شود.

اصول مقدماتی

تقسیم محدوده ی حل به اجزای ساده تر چندین مزیت دارد:

• بیان دقیق هندسه‌های پیچیده
• قابلیت درنظرگرفتن مواد با ویژگی‌های متفاوت
• بیان ساده‌ی جواب کلی مسئله
• قابلیت در نظر گرفتن ویژگی‌های محلی جواب

اساس کار این روش حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده‌سازی آن‌ها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روش‌های عددی مانند اویلر حل می‌شوند، می‌باشد. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله ساده‌ای که از نظر عددی پایداراست -به این معنا که خطا در داده‌های اولیه و در حین حل به حدی نباشد که به نتایج نامفهوم منتهی شود- برسیم. روشهایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد، که روش اجزاء محدود یکی از بهترین آنهاست. این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی روی دامنه‌های پیچیده (مانند وسایل نقلیه و لوله‌های انتقال نفت)، یا هنگامی که دامنه متغیر است، یا وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست یا اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند، بسیار مفید می‌باشد. به عنوان مثال در شبیه‌سازی یک تصادف در قسمت جلوی خودرو، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب خودرو نیست. همچنین در شبیه‌سازی و پیش‌بینی هوا روی کره زمین، هوای روی خشکی اهمیت بیشتری نسبت به هوای روی دریا دارد. تقسیم ناحیه به نواحی کوچکتر دارای مزایای زیادی است از جمله: نمایش دقیق هندسه پیچیده، گنجایش ویژگی‌های متفاوت جسم، درک ویژگی‌های موضعی جسم.

مراحل کلی در روش المان محدود:

1- تقسیم ‏بندی و انتخاب نوع المان: شامل تقسیم ‏بندی جسم به سیستم معادلی از المان‏های محدود با گره‏ های به هم پیوسته و نیز انتخاب مناسب‏ترین نوع المانی است که تا حد امکان منطبق با رفتار فیزیکی واقعی باشد. تعداد کل المان ‏های به کار رفته و نیز تغییرات در اندازه و نوع آن‏ها در یک جسم از نکات اصلی در مهندسی محسوب می‏شود. المان‏ها باید به اندازه ‏ای کوچک باشند تا جواب قابل استفاده و از طرف دیگر آنقدر بزرگ در نظر گرفته شوند که حجم محاسبات کاهش یابد.

عموما در مواقعی که آهنگ تغییرات نتایج بالاست، از جمله هنگام بروز تغییرات در هندسه‏ ی جسم، المان‏های کوچکتر مطلوب‏تر بوده در حالی که در مواقعی که نتایج ثابت است میتوان از از المان‏ های بزرگ استفاده نمود که حد بهینه ‏ی آن به روش همگرایی به دست می اید.

ساده‏ ترین نوع المان، المان خطی نامیده می‏شود که دارای دوگره است. یک گره در ابتدا و یکی در انتها.

المان ‏های ساده ‏ی دو بعدی(سطحی) توسط نیروهایی در سطح خود( حالت تنش یا کرنش سطحی) بارگذاری می‏ شوند. این المان ‏ها سه یا چهارضلعی هستند که البته میتوان با قرار دادن گره‏ هایی در وسط اضلاع آن‏ها، شکل پیشرفته تری از این المان‏ ها را ایجاد کرد.

عمومی ترین شکل المان سه بعدی، المان‏های سه وجهی یا شش وجهی هستند.

– انتخاب تابع جابجایی: تابع درون المان با استفاده از مقادیر گره ‏ای تعریف می‏شود. عموما در روش اجزای محدود، از چندجمله ‏ای های خطی، درجه 2 و 3 استفاده میشود.

3- تعریف روابط کرنش-جابجایی و تنش-کرنش: به منظور استخراج روابط مورد نیاز در هر المان، به روابط تنش-کرنش و کرنش-جابجایی نیاز است. مثلا در جابجایی یک بعدی، روابط زیر برای کرنش کوچک برقرار است:

4- استخراج ماتریس سفتی

5- برهم‏ گذاری معادلات المان‏ ها به منظور دستیابی به معادلات کلی و معرفی شرایط مرزی: در این مرحله، معادلات تعادل گره ‏ای هریک از المان ‏هایی که در مرحله‏ ی قبل استخراج شد برهم گذاری می ‏شوند. درواقع در این مرحله ماتریس سفتی کل سازه ایجاد و شرایط مرزی از نوع نیرو و جابجایی درون ماتریس مربوطه نهاده می شوند.

6- محاسبه ‏ی تنش و کرنش ‏های المان

تعریف ماتریس سفتی: در یک المان، ماتریس سختی k ماتریسی است که به ازای آن f=kd باشد.

در یک سازه که از تعدادی المان تشکیل شده است، ماتریس سفتی، جابجایی d گره هارا در محور مختصات اصلی به نیروهای اصلی F در سازه مرتبط میسازد.

برای شروع و فهم بهتر موضوع، ماتریس سفتی فنر را استخراج میکنیم.

معرفی روش سفتی

استخراج ماتریس سفتی المان فنر

1- فنری خطی به قسمی در نظر میگیریم که گره‏ های آن تحت تاثیر نیروی کششی T در راستای فنر و درحال تعادل باشد. طول اولیه ین دو گره برابر L است و ثابت فنر هم k میباشد .

2- انتخاب تابع جابجایی: از آنجا که المان فنری، بار اعمال شده را فقط از طریق درجه ‏های آزادی محلی که به میزان u1 و u2 جابجا میشوند تحمل مینماید، لذا تابع جابجایی u به قسمی تعیین میشود که معرف جابجایی در راستای المان باشد. این تابع به صورت زیر ر نظر گرفته میشود. به طور کلی تعداد ضرایب a با تعداد درجات آزادی برابر است.

3- تعریف روابط کرنش-جابجایی و تنش-کرنش: نیروی کششی T باعث افزایش طول فنر میشود که در شکل زیر نشان داده شده است. در اینجا به دلیل آنکه جهت جابجایی u1 خلاف جهت x است، اندازه ‏ی آن منفی است.

4- استخراج ماتریس سفتی

5- به هم گذاری ماتریس سفتی و نیرو برای تشکیل معادله کلی به فرم F=Kd

6- به دست آوردن جابجایی گره ها و نیروی المان ها با حل رابطه کلی

نرم‌افزارهای FEM

• آباکوس (Abaqus)
• انسیس (Ansys)
• نسترن (Nastran)
• کامسول (Comsol)
• ماکسول (Maxwell) (در زمینه الکترومغناطیس)
• پلکسیس (PLAXIS)
• دایانا (DIANA)
• اف ای ام ام (FEMM) (شبیه ساز دوبعدی تحت زبان lua)

روش تحلیل ماتریسی: تکنیکی قدرتمند جھت حل سازه ھای اسکلتی.
مقدمه ای برای تکنیک عمومی تر اجزاء محدود.دھه ۵٠و ۶٠
روشی مبتنی بر اصل تعادل
روش اجزاء محدود: روشی برای تحلیل سازه های پیوسته دھه ۶٠و ٧٠
روشی مبتنی بر اصل کار مجازی و اصل انرژی پتانسیل مینیمم

تحلیل ماتریسی سازه ھای خرپای یک بعدی :
(Equilibrium) اصل تعادل
(Minimum Total potential Energy) کمینه سازی انرژی پتانسیل کل
(Virtual work Principle) اصل کار مجازی

The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals

CHAPTER 1 The Standard Discrete System and Origins of the
Finite Element Method …………………………………….. 1
1.1 Introduction………………………………………………………………………….1
1.2 The structural element and the structural system ………………………4
1.3 Assembly and analysis of a structure……………………………………….6
1.4 The boundary conditions ……………………………………………………….7
1.5 Electrical and fluid networks ………………………………………………….8
1.6 The general pattern ……………………………………………………………….9
1.7 The standard discrete system………………………………………………..11
1.8 Transformation of coordinates………………………………………………12
1.9 Problems ……………………………………………………………………………14
References………………………………………………………………………….18
CHAPTER 2 Problems in Linear Elasticity and Fields…………….. 21
2.1 Introduction………………………………………………………………………..21
2.2 Elasticity equations……………………………………………………………..21
2.2.1 Displacement function…………………………………………………22
2.2.2 Strain matrix ………………………………………………………………23
2.2.3 Stress matrix ………………………………………………………………25
2.2.4 Equilibrium equations………………………………………………….26
2.2.5 Boundary conditions……………………………………………………27
2.2.6 Initial conditions …………………………………………………………30
2.2.7 Transformation of stress and strain………………………………..30
2.2.8 Stress-strain relations: Elasticity matrix …………………………32
2.3 General quasi-harmonic equation………………………………………….39
2.3.1 Governing equations: Flux and continuity………………………39
2.3.2 Boundary conditions……………………………………………………39
2.3.3 Initial condition…………………………………………………………..40
2.3.4 Constitutive behavior…………………………………………………..40
2.3.5 Irreducible form in φ ………………………………………………….40
2.3.6 Anisotropic and isotropic forms for
k: Transformations ………………………………………………………40
2.3.7 Two-dimensional problems…………………………………………..42

2.4 Concluding remarks…………………………………………………………….43
2.5 Problems ……………………………………………………………………………43
References………………………………………………………………………….44
CHAPTER 3 Weak Forms and Finite Element
Approximation: 1-D Problems………………………….. 47
3.1 Weak forms………………………………………………………………………..47
3.2 One-dimensional form of elasticity ……………………………………….48
3.2.1 Weak form of equilibrium equation……………………………….49
3.3 Approximation to integral and weak forms: The weighted
residual (Galerkin) method…………………………………………………..51
3.3.1 Galerkin solution of elasticity equation………………………….52
3.4 Finite element solution ………………………………………………………..55
3.4.1 Requirements for finite element approximations……………..59
3.5 Isoparametric form………………………………………………………………61
3.5.1 Higher order elements: Lagrange interpolation……………….62
3.5.2 Integrals on the parent element: Numerical integration…….64
3.6 Hierarchical interpolation …………………………………………………….66
3.7 Axisymmetric one-dimensional problem ……………………………….69
3.7.1 Weak form for axisymmetric problem……………………………70
3.7.2 A variational notation…………………………………………………..71
3.7.3 Irreducible form for axisymmetric problem ……………………72
3.7.4 Finite element solution ………………………………………………..72
3.8 Transient problems ……………………………………………………………..75
3.8.1 Discrete time methods …………………………………………………75
3.8.2 Semi-discretization of the problem………………………………..77
3.9 Weak form for one-dimensional quasi-harmonic equation………..81
3.9.1 Weak form………………………………………………………………….82
3.9.2 Finite element solution of quasi-harmonic problem…………82
3.9.3 Transient problems………………………………………………………84
3.10 Concluding remarks…………………………………………………………….87
3.11 Problems ……………………………………………………………………………88
References………………………………………………………………………….91
CHAPTER 4 Variational Forms and Finite Element
Approximation: 1-D Problems………………………….. 93
4.1 Variational principles…………………………………………………………..93
4.2 “Natural” variational principles and their relation to
governing differential equations ……………………………………………95
4.2.1 Euler equations …………………………………………………………..95

4.3 Establishment of natural variational principles for linear,
self-adjoint differential equations ………………………………………….97
4.4 Maximum, minimum, or a saddle point?………………………………100
4.5 Constrained variational principles ……………………………………….101
4.5.1 Lagrange multipliers………………………………………………….101
4.5.2 Identification of Lagrange multipliers: Forced boundary
conditions and modified variational principles………………103
4.6 Constrained variational principles: Penalty function and
perturbed Lagrangian methods ……………………………………………104
4.6.1 Penalty functions ………………………………………………………105
4.6.2 Perturbed Lagrangian…………………………………………………105
4.7 Least squares approximations……………………………………………..108
4.8 Concluding remarks: Finite difference and boundary
methods……………………………………………………………………………110
4.9 Problems ………………………………………………………………………….111
References………………………………………………………………………..112
CHAPTER 5 Field Problems: A Multidimensional Finite
Element Method …………………………………………. 115
5.1 Field problems: Quasi-harmonic equation…………………………….115
5.1.1 Irreducible form………………………………………………………..116
5.1.2 Finite element discretization……………………………………….117
5.1.3 Shape functions for triangle, rectangle, and
tetrahedron ……………………………………………………………….119
5.2 Partial discretization: Transient problems……………………………..126
5.3 Numerical examples: An assessment of accuracy ………………….126
5.3.1 Torsion of prismatic bars ……………………………………………128
5.3.2 Transient heat conduction…………………………………………..131
5.3.3 Anisotropic seepage…………………………………………………..134
5.3.4 Electrostatic and magnetostatic problems …………………….134
5.3.5 Lubrication problems…………………………………………………135
5.3.6 Irrotational and free surface flows ……………………………….136
5.4 Problems ………………………………………………………………………….139
References………………………………………………………………………..147
CHAPTER 6 Shape Functions, Derivatives, and Integration…… 151
6.1 Introduction………………………………………………………………………151
6.2 Two-dimensional shape functions ……………………………………….152
6.2.1 Shape functions for triangles ………………………………………152
6.2.2 Shape functions for quadrilaterals ……………………………….155

6.3 Three-dimensional shape functions ……………………………………..162
6.3.1 Tetrahedral elements………………………………………………….162
6.3.2 Hexagon elements: Brick family …………………………………165
6.4 Other simple three-dimensional elements …………………………….168
6.5 Mapping: Parametric forms ………………………………………………..170
6.6 Order of convergence for mapped elements ………………………….172
6.7 Computation of global derivatives……………………………………….175
6.7.1 Placement of element coordinates ……………………………….177
6.8 Numerical integration ………………………………………………………..178
6.8.1 Quadrilateral elements……………………………………………….178
6.8.2 Brick elements ………………………………………………………….179
6.8.3 Triangular elements …………………………………………………..179
6.8.4 Tetrahedral elements………………………………………………….180
6.8.5 Required order of numerical integration……………………….180
6.8.6 Matrix singularity due to numerical integration …………….183
6.9 Shape functions by degeneration …………………………………………187
6.9.1 Higher order degenerate elements ……………………………….188
6.10 Generation of finite element meshes by mapping…………………..192
6.10.1 Blending functions…………………………………………………..193
6.10.2 Bèzier functions………………………………………………………196
6.11 Computational advantage of numerically integrated
finite elements…………………………………………………………………..198
6.12 Problems ………………………………………………………………………….199
References………………………………………………………………………..207
CHAPTER 7 Elasticity: Two- and Three-Dimensional Finite
Elements…………………………………………………… 211
7.1 Introduction………………………………………………………………………211
7.2 Elasticity problems: Weak form for equilibrium ……………………211
7.2.1 Displacement method: Irreducible form……………………….214
7.3 Finite element approximation by the Galerkin method …………..214
7.4 Boundary conditions………………………………………………………….217
7.5 Numerical integration and alternate forms ……………………………219
7.6 Infinite domains and infinite elements………………………………….221
7.6.1 The mapping function………………………………………………..222
7.7 Singular elements by mapping: Use in fracture
mechanics, etc…………………………………………………………………..224
7.8 Reporting results: Displacements, strains, and stresses…………..226
7.9 Discretization error and convergence rate …………………………….228
7.10 Minimization of total potential energy …………………………………230

7.10.1 Bound on strain energy in a displacement
formulation……………………………………………………………..232
7.10.2 Direct minimization…………………………………………………233
7.11 Finite element solution process …………………………………………..233
7.12 Numerical examples ………………………………………………………….234
7.12.1 Practical examples …………………………………………………..244
7.13 Concluding remarks…………………………………………………………..247
7.14 Problems ………………………………………………………………………….247
References………………………………………………………………………..252
CHAPTER 8 The Patch Test, Reduced Integration,
and Nonconforming Elements………………………… 257
8.1 Introduction………………………………………………………………………257
8.2 Convergence requirements………………………………………………….258
8.3 The simple patch test (Tests A and B): A necessary
condition for convergence…………………………………………………..260
8.4 Generalized patch test (Test C) and the single-element test …….262
8.5 The generality of a numerical patch test……………………………….263
8.6 Higher order patch tests……………………………………………………..265
8.7 Application of the patch test to plane elasticity elements
with “standard” and “reduced” quadrature……………………………265
8.8 Application of the patch test to an incompatible element………..271
8.9 Higher order patch test: Assessment of robustness…………………276
8.10 Concluding remarks…………………………………………………………..278
8.11 Problems ………………………………………………………………………….279
References………………………………………………………………………..283
CHAPTER 9 Mixed Formulation and Constraints: Complete
Field Methods ……………………………………………. 285
9.1 Introduction………………………………………………………………………285
9.2 Mixed form discretization: General remarks…………………………287
9.3 Stability of mixed approximation: The patch test…………………..289
9.3.1 Solvability requirement………………………………………………289
9.3.2 Locking……………………………………………………………………291
9.3.3 The mixed patch test………………………………………………….291
9.4 Two-field mixed formulation in elasticity……………………………..293
9.4.1 General…………………………………………………………………….293
9.4.2 The u-σ mixed form…………………………………………………..294
9.4.3 Stability of two-field approximation in elasticity
(u-σ) ………………………………………………………………………..295
9.5 Three-field mixed formulations in elasticity …………………………300

9.5.1 The u-σ– mixed form………………………………………………..300
9.5.2 Stability condition of three-field approximation
(u-σ–) ……………………………………………………………………..302
9.5.3 The u-σ–en form: Enhanced strain formulation …………….303
9.6 Complementary forms with direct constraint ………………………..308
9.6.1 General forms …………………………………………………………..308
9.6.2 Solution using auxiliary functions……………………………….310
9.7 Concluding remarks: Mixed formulation or a test
of element “robustness”……………………………………………………..311
9.8 Problems ………………………………………………………………………….311
References………………………………………………………………………..312
CHAPTER 10 Incompressible Problems, Mixed Methods,
and Other Procedures of Solution …………………… 315
10.1 Introduction………………………………………………………………………315
10.2 Deviatoric stress and strain, pressure, and volume change………315
10.3 Two-field incompressible elasticity (u-p form) ……………………..317
10.4 Three-field nearly incompressible elasticity (u-p–vv form)………326
10.4.1 The B-bar method for nearly incompressible
problems…………………………………………………………………327
10.5 Reduced and selective integration and its equivalence to
penalized mixed problems ………………………………………………….328
10.6 A simple iterative solution process for mixed problems:
Uzawa method ………………………………………………………………….335
10.6.1 General…………………………………………………………………..335
10.6.2 Iterative solution for incompressible elasticity…………….335
10.7 Stabilized methods for some mixed elements failing the
incompressibility patch test ………………………………………………..337
10.7.1 Laplacian pressure stabilization…………………………………338
10.7.2 Galerkin least squares method…………………………………..340
10.7.3 Direct pressure stabilization ……………………………………..341
10.7.4 Incompressibility by time stepping…………………………….345
10.7.5 Numerical comparisons ……………………………………………348
10.8 Concluding remarks…………………………………………………………..351
10.9 Problems ………………………………………………………………………….353
References………………………………………………………………………..356
CHAPTER 11 Multidomain Mixed Approximations………………… 361
11.1 Introduction………………………………………………………………………361
11.2 Linking of two or more subdomains by Lagrange
multipliers………………………………………………………………………..362

11.2.1 Linking subdomains for quasi-harmonic equations………362
11.2.2 Linking subdomains for elasticity equations ……………….367
11.3 Linking of two or more subdomains by perturbed
Lagrangian and penalty methods…………………………………………369
11.3.1 Nitsche method and discontinuous Galerkin
approximation…………………………………………………………371
11.4 Problems ………………………………………………………………………….376
References………………………………………………………………………..377
CHAPTER 12 The Time Dimension: Semi-Discretization
of Field and Dynamic Problems ……………………… 379
12.1 Introduction………………………………………………………………………379
12.2 Direct formulation of time-dependent problems with
spatial finite element subdivision…………………………………………379
12.2.1 The “quasi-harmonic” equation with first and second
time derivative…………………………………………………………379
12.2.2 Dynamic behavior of elastic structures with linear
damping …………………………………………………………………381
12.2.3 “Mass” or “damping” matrices for some typical
elements …………………………………………………………………382
12.2.4 Mass “lumping” or diagonalization……………………………383
12.3 Analytical solution procedures: General classification……………386
12.4 Free response: Eigenvalues for second-order problems and
dynamic vibration ……………………………………………………………..387
12.4.1 Free dynamic vibration: Real eigenvalues…………………..387
12.4.2 Determination of eigenvalues ……………………………………387
12.4.3 Free vibration with the singular K matrix……………………388
12.4.4 Reduction of the eigenvalue system …………………………..389
12.4.5 Some examples ……………………………………………………….389
12.5 Free response: Eigenvalues for first-order problems and
heat conduction, etc. ………………………………………………………….392
12.6 Free response: Damped dynamic eigenvalues ……………………….393
12.7 Forced periodic response ……………………………………………………394
12.8 Transient response by analytical procedures …………………………395
12.8.1 General…………………………………………………………………..395
12.8.2 Frequency response procedures…………………………………395
12.8.3 Modal decomposition analysis ………………………………….396
12.8.4 Damping and participation of modes………………………….398
12.9 Symmetry and repeatability………………………………………………..399
12.10 Problems ………………………………………………………………………….399
References………………………………………………………………………..402

CHAPTER 13 Plate Bending Approximation: Thin and
Thick Plates………………………………………………. 407
13.1 Introduction………………………………………………………………………407
13.2 Governing equations………………………………………………………….408
13.2.1 One-dimensional theory: Cylindrical
bending …………………………………………………………………408
13.2.2 Weak form for cylindrical bending …………………………….412
13.2.3 Finite element approximation……………………………………413
13.2.4 Exact nodal solution for thick plate……………………………417
13.3 General plate theory…………………………………………………………..418
13.3.1 The boundary conditions ………………………………………….421
13.3.2 The irreducible, thin plate approximation……………………423
13.3.3 Finite element approximation……………………………………424
13.3.4 Continuity requirement for shape functions
(C1 continuity) ………………………………………………………..425
13.4 The patch test: An analytical requirement …………………………….428
13.5 A nonconforming three-node triangular element …………………..429
13.6 Numerical example for thin plates……………………………………….432
13.7 Thick plates………………………………………………………………………433
13.8 Irreducible formulation: Reduced integration………………………..437
13.9 Mixed formulation for thick plates ………………………………………442
13.9.1 The approximation…………………………………………………..442
13.9.2 Continuity requirements …………………………………………..443
13.9.3 Equivalence of mixed forms with discontinuous Q
interpolation and reduced (selective) integration………….444
13.9.4 Why elements fail: Patch test for thick plates………………445
13.9.5 Design of some useful elements ………………………………..448
13.10 Elements with rotational bubble or enhanced modes ……………..449
13.11 Linked interpolation: An improvement of accuracy ……………….452
13.11.1 Linking function for linear triangles and
quadrilaterals…………………………………………………………453
13.11.2 Linked interpolation for quadratic elements………………454
13.12 Discrete “exact” thin plate limit…………………………………………..456
13.13 Limitations of plate theory………………………………………………….458
13.14 Concluding remarks…………………………………………………………..459
13.15 Problems ………………………………………………………………………….459
References………………………………………………………………………..460
CHAPTER 14 Shells as a Special Case of Three-Dimensional
Analysis……………………………………………………. 467
14.1 Introduction………………………………………………………………………467

14.2 Shell element with displacement and rotation
parameters………………………………………………………………………..469
14.2.1 Geometric definition of an element ……………………………469
14.2.2 Displacement field …………………………………………………..471
14.2.3 Definition of strains and stresses ……………………………….473
14.2.4 Element properties and necessary transformations……….474
14.2.5 Some remarks on stress representation……………………….476
14.3 Special case of axisymmetric thick shells …………………………….477
14.4 Special case of thick plates…………………………………………………480
14.5 Convergence……………………………………………………………………..480
14.6 Some shell examples………………………………………………………….481
14.6.1 Spherical dome under uniform pressure……………………..481
14.6.2 Edge-loaded cylinder ……………………………………………….481
14.6.3 Cylindrical shell: Self-weight loading………………………..483
14.6.4 Pipe penetration and spherical cap …………………………….484
14.7 Concluding remarks…………………………………………………………..484
14.8 Problems ………………………………………………………………………….487
References………………………………………………………………………..488
CHAPTER 15 Errors, Recovery Processes, and Error Estimates.. 493
15.1 Definition of errors ……………………………………………………………493
15.1.1 Norms of errors……………………………………………………….494
15.2 Superconvergence and optimal sampling points…………………….497
15.2.1 A one-dimensional example………………………………………497
15.2.2 The Herrmann theorem and optimal
sampling points ………………………………………………………500
15.3 Recovery of gradients and stresses ………………………………………502
15.4 Superconvergent patch recovery (SPR) ………………………………..504
15.4.1 Recovery for gradients and stresses……………………………504
15.4.2 SPR for displacements and stresses……………………………512
15.5 Recovery by equilibration of patches (REP) …………………………513
15.6 Error estimates by recovery ………………………………………………..515
15.7 Residual-based methods …………………………………………………….517
15.7.1 Explicit residual error estimator ………………………………..517
15.7.2 Implicit residual error estimators……………………………….523
15.8 Asymptotic behavior and robustness of error
estimators: The Babuška patch test………………………………………528
15.9 Error bounds and error estimates for quantities of interest………532
15.10 Which errors should concern us?…………………………………………536
15.11 Problems ………………………………………………………………………….536
References………………………………………………………………………..537

CHAPTER 16 Adaptive Finite Element Refinement………………… 545
16.1 Introduction………………………………………………………………………545
16.2 Adaptive h-refinement ……………………………………………………….548
16.2.1 Predicting the required element size in
h-adaptivity …………………………………………………………….548
16.2.2 Numerical examples ………………………………………………..550
16.3 p-refinement and hp-refinement…………………………………………..557
16.4 Concluding remarks…………………………………………………………..566
16.5 Problems ………………………………………………………………………….570
References………………………………………………………………………..570
CHAPTER 17 Automatic Mesh Generation ………………………….. 573
17.1 Introduction………………………………………………………………………573
17.2 Geometrical representation of the domain…………………………….575
17.2.1 Curve representation………………………………………………..575
17.2.2 Surface representation………………………………………………578
17.3 Two-dimensional mesh generation: Advancing
front method……………………………………………………………………..579
17.3.1 Geometrical representation of two-dimensional
domain……………………………………………………………………580
17.3.2 Geometrical characteristics of the mesh……………………..581
17.3.3 Triangular mesh generation ………………………………………584
17.3.4 Mesh quality enhancement for triangles……………………..593
17.3.5 Higher order elements………………………………………………598
17.3.6 Remarks …………………………………………………………………599
17.4 Surface mesh generation…………………………………………………….599
17.4.1 Geometrical characteristics of the
surface mesh……………………………………………………………601
17.4.2 Discretization of three-dimensional curves …………………607
17.4.3 Element generation in the parametric plane ………………..609
17.4.4 Higher order surface elements …………………………………..610
17.4.5 Remarks …………………………………………………………………611
17.5 Three-dimensional mesh generation: Delaunay
triangulation……………………………………………………………………..613
17.5.1 Voronoi diagram and Delaunay triangulation ………………613
17.5.2 Mesh generation by Delaunay triangulation………………..615
17.5.3 Mesh quality enhancement ……………………………………….625
17.5.4 Higher order elements………………………………………………632
17.5.5 Numerical examples ………………………………………………..632
17.5.6 Remarks …………………………………………………………………632
17.6 Concluding remarks…………………………………………………………..634
References………………………………………………………………………..634

CHAPTER 18 Computer Procedures for Finite Element
Analysis……………………………………………………. 641
18.1 Introduction………………………………………………………………………641
18.2 Pre-processing module: Mesh creation…………………………………641
18.2.1 Element library ……………………………………………………….642
18.3 Solution module………………………………………………………………..643
18.4 Post-processor module……………………………………………………….643
18.5 User modules ……………………………………………………………………644
References………………………………………………………………………..644
Appendix A………………………………………………………………….. 647
Appendix B………………………………………………………………….. 655
Appendix C………………………………………………………………….. 661
Appendix D………………………………………………………………….. 671
Appendix E ………………………………………………………………….. 681
Appendix F ………………………………………………………………….. 683
Appendix G………………………………………………………………….. 685
Appendix H………………………………………………………………….. 689
Author Index………………………………………………………………… 697
Subject Index ………………………………………………………………. 705

فروشگاه آموزشی و دانلودی